10、能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數(shù)解？

求出一個整數(shù)系數(shù)方程的整數(shù)根，稱為丟番圖（約210-290，古希臘數(shù)學家）方程可解。1950年前后，美國數(shù)學家戴維斯（Davis）、普特南（Putnan）、羅賓遜（Robinson）等取得關鍵性突破。1970年，巴克爾（Baker）、費羅斯（Philos）對含兩個未知數(shù)的方程取得肯定結論。

1970年。蘇聯(lián)數(shù)學家馬蒂塞維奇最終證明：在一般情況下，答案是否定的。雖然得出了否定的結果，卻產(chǎn)生了一系列很有價值的副產(chǎn)品，其中不少和計算機科學有密切聯(lián)系。

11、一般代數(shù)數(shù)域內(nèi)的二次型論

德國數(shù)學家哈塞（Hasse）和西格爾（Siegel）在20年代獲重要結果。60年代，法國數(shù)學家魏依（A.Weil）取得了新進展。

12、類域的構成問題

即將阿貝爾域上的克羅內(nèi)克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去。此問題僅有一些零星結果，離徹底解決還很遠。

三、希爾伯特23個數(shù)學難題：代數(shù)和幾何問題

13、一般七次代數(shù)方程以二變量連續(xù)函數(shù)之組合求解的不可能性

14、建立代數(shù)幾何學的基礎

荷蘭數(shù)學家范德瓦爾登1938年至1940年，魏依1950年已解決。

一個典型的問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個直觀的解法。希爾伯特要求將問題一般化，并給以嚴格基礎?，F(xiàn)在已有了一些可計算的方法，它和代數(shù)幾何學有密切的關系。但嚴格的基礎至今仍未建立。